Cofio Dull Schröder fel Strategaeth Effeithlon ar gyfer Amcangyfrif Gwreiddiau Lluosogrwydd Anhysbys

Crynodeb:

Yn y papur hwn, cynigiwn, hyd eithaf ein gwybodaeth, y cynllun iterus cyntaf gyda chof ar gyfer dod o hyd i wreiddiau nad yw eu lluosogrwydd yn hysbys yn bodoli yn y llenyddiaeth. Mae'n gwella effeithlonrwydd gweithdrefn debyg heb gof oherwydd Schröder a gellir ei ystyried fel hedyn i gynhyrchu dulliau lefel uwch gyda nodweddion tebyg. Unwaith y bydd ei drefn cydgyfeiriant yn cael ei astudio, caiff ei sefydlogrwydd ei ddadansoddi gan ddangos ei briodweddau da, a chaiff ei gymharu'n rhifiadol o ran eu basnau atyniad â chynlluniau tebyg heb gof ar gyfer dod o hyd i wreiddiau lluosog.

Mae cof yn rhan bwysig o ddeallusrwydd dynol ac yn anghenraid ar gyfer dysgu, meddwl, creu a bywyd dynol. Ond mae llawer o bobl yn gweld bod eu cof yn annigonol ac maent yn aml yn anghofio pethau pwysig. Mae cysylltiad agos rhwng ansawdd y cof ac iteriad y cof.

Mae'r iteriad cof fel y'i gelwir yn cyfeirio at gryfhau a chyfnerthu cof yn barhaus yn y broses o ddysgu pwynt gwybodaeth neu sgil penodol dro ar ôl tro, ac yn olaf ei drawsnewid yn gof hirdymor. Mae'r broses hon nid yn unig yn helpu i atgyfnerthu atgofion ond hefyd yn gwella maint ac ansawdd ohonynt.

Felly, sut i ailadrodd cof yn dda? Yn gyntaf oll, mae angen deall y cynnwys dysgu yn llawn. Dim ond trwy ddealltwriaeth ddofn y gellir argraffu'r wybodaeth yn wirioneddol yn y meddwl ac osgoi anghofio. Yn ail, daliwch ati i adolygu. Mae adolygu'r wybodaeth a ddysgwyd dro ar ôl tro, yn helpu'r ymennydd i ddyfnhau'r argraff o adnabod gwybodaeth, rhesymu, a dealltwriaeth, a thrwy hynny wella cof hirdymor. Yn olaf, defnyddiwch amrywiaeth o ddulliau i helpu i ailadrodd ar y cof. Er enghraifft, gallwch chi wneud eich cof yn fwy manwl trwy wneud mapiau meddwl, ailadrodd, ac ati.

Yn fyr, mae cof ailadroddol yn broses gymhleth a phwysig sy'n gofyn am ymdrech barhaus a dyfalbarhad. Dim ond trwy drin cof ailadroddus fel ffordd o fyw a'i integreiddio i bob agwedd ar astudio dyddiol, gwaith a bywyd y gallwn wella ein cof yn barhaus, galluogi ein hunain i ymdopi'n well â heriau dysgu a gwaith cymhleth, a dangos arddull bersonol newydd. Mae past cig yn ddeunydd meddyginiaethol Tsieineaidd traddodiadol sydd â llawer o effeithiau unigryw, ac un ohonynt yw gwella cof. Mae effeithiolrwydd briwgig yn dod o amrywiaeth o gynhwysion gweithredol y mae'n eu cynnwys, gan gynnwys asid carbocsilig, polysacaridau, flavonoidau, ac ati. Gall y cynhwysion hyn hybu iechyd yr ymennydd trwy wahanol sianeli.

Cliciwch gwybod 10 ffordd i wella cof

Geiriau allweddol:

Hafaliadau aflinol; dulliau iterus gyda chof; gwreiddiau lluosog; heb ddeilliadau; effeithlonrwydd; sefydlogrwydd.

1. Rhagymadrodd

Ceir yn y llenyddiaeth (gweler, er enghraifft, Cyfeiriad [1–8]) nifer o ddulliau iterus heb gof, sy'n cynnwys deilliadau neu beidio, a gynlluniwyd i amcangyfrif gwreiddiau lluosog hafaliad aflinol f(x)=0, ond mae ar y rhan fwyaf o honynt angen gwybodaeth am luosogrwydd m y gwreiddiau hyn.

Mae'n hysbys bod dull Schröder [9]:

gyda bod yn baramedr go iawn, mae angen 4 gwerthusiad swyddogaeth fesul cam ac nid yw bellach yn rhydd o ddeilliadau. Mae'r dull Traub-Steffensen hwn ar g yn rhy ddrud ac nid yw'n cael ei ystyried ymhellach.

Prif fantais cynllun Schröder yw ei annibyniaeth ar y wybodaeth am luosogrwydd y ffwythiant aflinol, mewn cyferbyniad â dull addasedig Newton ar gyfer gwreiddiau lluosog,

lle m yw'r lluosogrwydd o , y mae'n rhaid ei wybod yn yr achos hwn. Roedd y cynllun hwn hefyd yn ddyledus i Schröder (gweler hefyd Cyfeirnod [9]), ac rydym yn ei ddynodi gan SM2. Mae'r cynllun hwn yn gydgyfeiriol ail drefn ac, felly, yn optimaidd, yn yr ystyr o ddyfalu Kung-Traub, (gan ei fod yn defnyddio dau werthusiad swyddogaethol newydd fesul iteriad; gweler Cyfeirnod [10]). Fodd bynnag, mae angen y wybodaeth am y lluosogrwydd, tra nad yw SM1 yn ei ddefnyddio; serch hynny, prif anfantais cynllun SM1 yw ei effeithlonrwydd isel, gan fod angen iddo werthuso tair swyddogaeth aflinol (f(x), f 0 (x) ac f 00(x)) fesul iteriad.

Mae ein nod yn y llawysgrif hon yn ddwbl: o un ochr, hoffem gynyddu effeithlonrwydd y cynllun SM1, gan ddal ei allu i ddod o hyd i wreiddiau lluosog o luosogrwydd m heb yn wybod m ac, o'r ochr arall, i gyfuno yn yr un algorithm y gallu i ddod o hyd i wreiddiau lluosog gan ddefnyddio mwy nag un iteriad blaenorol. Felly, rydym yn cynnig cynllun iterus gyda chof ar gyfer amcangyfrif gwreiddiau lluosog o luosogrwydd anhysbys. Hyd y gwyddom, nid oes yn y llenyddiaeth weithdrefn ailadroddus sy'n bodloni'r priodweddau hyn.

Wrth ddadansoddi cydgyfeiriant y cynllun arfaethedig, rhaid ystyried rhai agweddau, gan ei fod yn ddull iterus gyda chof felly rhaid ystyried y gwall mewn sawl iteriad blaenorol a dylai lluosogrwydd y gwraidd m hefyd fod yn elfen allweddol. o'r arddangosiad, er nad yw ei werth penodol yn hysbys. Ynglŷn â'r ffaith hon, dylid sylwi bod f (q) ( ) { { { { { } }}} am q=1, 2, . . . , m − 1 ac f (m)( ) 6= 0. Felly, dylai'r ehangiadau Taylor o gwmpas f a f 0 sy'n ymddangos yn y mynegiant ailadroddol ystyried y wybodaeth hon.

Ar y llaw arall, gan fod ein cynllun arfaethedig yn weithdrefn iterus sy'n defnyddio tair iterad blaenorol ar gyfer cyfrifo'r un nesaf, mae angen mynegi'r hafaliad gwall yn nhermau eu gwallau cyfatebol ac, ohono, i ddiddwytho trefn ei gydgyfeiriant. Gwneir hyn gan ddefnyddio canlyniad clasurol gan Ortega a Rheinboldt [11], a gyflwynir isod.

Theorem 1. Gadewch i ψ fod yn ddull iterus gyda chof sy'n cynhyrchu dilyniant {xk} o frasamcanion i'r gwraidd , a gadewch i'r dilyniant hwn gydgyfeirio i . Os oes cysonyn di-sero η a rhifau positif ti, i=0, 1, . . . , m, y fath fod yr anghyfartaledd

Yn y llawysgrif hon, mae Adran 2 wedi'i neilltuo i ddyluniad a dadansoddiad cydgyfeirio'r dull iterus di-ddeilliadau arfaethedig gyda chof i ddod o hyd i wreiddiau lluosog (heb wybod am ei luosogrwydd). Yn Adran 3, dadansoddir ei sefydlogrwydd i ganfod ei ddibyniaeth ar yr amcangyfrifon cychwynnol ar gyfer gwreiddiau syml a lluosog. Yn Adran 4, mae perfformiad rhifiadol y dull yn cael ei wirio ar sawl swyddogaeth prawf, yn cael ei ddadansoddi, yn ogystal â'u basnau atyniad cyfatebol, o'i gymharu â dulliau Schröder presennol.

2. Dyluniad a Dadansoddiad Cydgyfeirio

Ein man cychwyn yw'r cynllun di-ddeilliadau gyda chof oherwydd Traub [12],

Prif fantais y cynllun hwn yw ei allu i ddod o hyd i wreiddiau syml, yn ogystal â lluosog, swyddogaeth aflinol heb yn wybod i'r lluosogrwydd, gyda gwell effeithlonrwydd na SM1. Yn sicr, trwy ddefnyddio mynegai effeithlonrwydd Ostrowski [13], mae ISM1=2 1 3 ≈ 1.25992 yn is nag IgTM=1.841 2 ≈ 1.35647, lle cyfrifir pob mynegai fel p 1 d, gyda p sef trefn cydgyfeiriant y dull, a ch swm y gwerthusiadau swyddogaethol newydd fesul iteriad.

Yn yr adran nesaf, gwneir dadansoddiad deinamig ar y cynllun hwn, i ddangos ei berfformiad ansoddol ar wreiddiau syml a lluosog. Gan ei fod yn ddull iterus gyda chof, rhaid defnyddio dynameg real amlddimensiwn.

3. Astudiaeth Ansoddol o'r Dulliau Iteraidd Arfaethedig gyda Chof am Wreiddyn Lluosog

Gadewch inni nodi bod ein dull yn defnyddio tri iteriad blaenorol i gynhyrchu'r un canlynol; felly, gellir mynegi yn gyffredinol a

lle x0, x−1, ac x−2 yw'r amcangyfrifon cychwynnol. Gan ddefnyddio'r weithdrefn a ddiffinnir yn Cyfeiriad [14], gellir disgrifio'r dull hwn fel system ddeinamig amlddimensiwn go iawn arwahanol, a gellir dadansoddi ei ymddygiad ansoddol

Mae gan berfformiad ansoddol y system ddeinamig elfen allweddol wrth nodweddu eu pwyntiau sefydlog, o ran sefydlogrwydd. I gyfrifo pwyntiau sefydlog 1 SF Υ, gellir diffinio ffwythiant fectoraidd ategol M: R3 −→ R3, yn gysylltiedig ag 1 SF Υ gan ddefnyddio:

Ar ben hynny, os oes gwerth eigen λi o'r matrics Jacobian M{{{0}} wedi'i werthuso ar bwynt sefydlog x ∗ bodloni |λi|< 1 ac un arall λj fel y |λj|> 1, yna, gelwir x ∗ pwynt sefydlog cyfrwy. Fel estyniad o'r cysyniad mewn dynameg un dimensiwn, os yw gwerthoedd eigen M0 ( x ∗ ) yn bodloni |λj |=0 ar gyfer holl werthoedd j=1, 2, . . . , m, felly, mae'r pwynt sefydlog x ∗ nid yn unig yn ddeniadol ond hefyd yn uwch-deniadol. Felly, mae gan y dull gydgyfeiriant cwadratig, o leiaf ar y dosbarth o swyddogaethau aflinol sy'n deillio'r swyddogaeth resymegol (gweler Cyfeirnod [12]).

Wrth ystyried x ∗ pwynt sefydlog deniadol o M, diffinnir ei fasn atyniad A(x ∗ ) fel y set o ragddelweddau o unrhyw drefn.

Mae perfformiad ansoddol gwahanol gynlluniau iterus a gynlluniwyd ar gyfer datrys hafaliadau aflinol â gwreiddiau lluosog wedi'i astudio gan wahanol awduron (gweler, er enghraifft, Cyfeirnod [17-19]). Fe'i gwnaed trwy ddefnyddio deinameg cymhleth arwahanol, gan fod yr holl gynlluniau hyn heb gof. Yn yr astudiaethau hyn, darganfuwyd, pan fydd dull iterus (heb gof) a gynlluniwyd ar gyfer dod o hyd i wreiddiau lluosog yn gweithredu ar swyddogaeth aflinol gyda gwreiddiau syml a lluosog, mae'n eithaf arferol bod basnau atyniad gwreiddiau syml yn gulach na rhai o wreiddiau lluosog. Yn wir, gall y gwreiddiau syml hynny ddiffinio pwyntiau sefydlog y swyddogaeth resymegol sy'n wrthyriad. Felly, dylai'r dull ailadroddol allu dod o hyd i wreiddiau lluosog yn unig.

Gwneir y dadansoddiad ansoddol canlynol ar p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Yn fwy na neu'n hafal i 1 fel bod gallu'r cynllun i ddarganfod y ddau syml a gwreiddiau lluosog (gyda lluosogrwydd m) yn cael ei brofi.

Offeryn defnyddiol iawn i ddelweddu'r canlyniadau dadansoddol yw plân ddeinamig y system, sy'n cynnwys set o wahanol fasnau atyniad. Yma, mae plân ddynamig y dull arfaethedig gTM yn cael ei adeiladu trwy gyfrifo orbit rhwyll o 800 × 800 o fannau cychwyn (z, x) ar gyfer gwerth sefydlog w yn y grid cychwyn. Gan fod angen cychwyn y cynlluniau ailadroddol gyda thri amcangyfrif cychwynnol, rydym yn cynhyrchu rhwyll o awyrennau deinamig, pob un ohonynt â gwerth sefydlog o w yn y cyfwng [−1.75, 1.75]. Yn y portreadau cyfnod hyn, mae pob pwynt o'r rhwyll yn cael ei baentio mewn gwahanol liwiau (oren a gwyrdd yn yr achos hwn), yn dibynnu ar yr atynnwr y maent yn cydgyfeirio iddo (wedi'i farcio fel seren wen), gyda goddefiant o 10−3. Yn ogystal, maent yn ymddangos mewn du os nad yw'r orbit wedi cyrraedd unrhyw bwynt sefydlog deniadol mewn uchafswm o 500 o iteriadau. Wrth i werth sefydlog w gael ei newid mewn fector o werthoedd sy'n perthyn i [−1.75, 1.75], mae'n cynhyrchu cyfansoddiad o ffigurau ar gyfer pob lluosrif, gan greu math o blot cyfuchlin.

Yn Ffigur 1, rydym yn dangos perfformiad y cynllun gTM ar p(x), hynny yw, gweithredwr rhesymegol TM ar gyfer gwreiddiau syml. Wrth arsylwi ymddygiad y gwahanol leiniau gyda'r tri iteriad cyntaf yn amrywio yr un yn [−2, 2], sylwyd ar y dichonoldeb sefydlog. Basnau atyniad y gwreiddiau yw'r unig rai; maent yn eang, a'r unig berfformiad gwahanol (gwell nag eraill o ran symlrwydd y ffin ymhlith y basnau) yw'r achos w=0, lle mae'r swyddogaeth resymegol yn cael ei symleiddio. Ym mhob achos, gwelir mai'r unig ymddygiad posibl o ddull gTM yw'r cydgyfeiriant i'r gwreiddiau.

Ar y llaw arall, yn Ffigur 2, rydym yn dangos perfformiad tebyg iawn pan fydd un o'r gwreiddiau yn ddwbl, a'r un arall yn syml. Mae basnau atyniad yr un mor eang, ac mae'r ymddygiad hwn yn debyg iawn pan archwiliwyd lluosogrwydd eraill. Yn ogystal, yn yr achos hwn gellir gweld mai dim ond cydgyfeirio sydd i'r gwreiddiau, gan mai dim ond cydgyfeiriant arafach sydd gan ardaloedd tywyllach, oherwydd cymhlethdod uwch ffin y basnau atyniad.

4. Perfformiad Rhifiadol a Phrofion Dynamig

Yn yr adran hon, rydym yn cymharu tri dull, sef SM2 (angen gwybodaeth am y lluosogrwydd), SM1, a gTM (sy'n deillio o ddull Traub). Nid oes angen gwybodaeth am y lluosogrwydd ar y ddau ddull olaf, ond mae angen gwerthusiadau swyddogaethol ychwanegol fesul cam iteriad (tri yn achos SM1, dau yn achos gTM).

Mae'r dulliau'n cael eu cymharu'n ansoddol trwy fasnau ffigurau atyniad ac yn feintiol trwy sawl mesur. Y mesurau hyn yw amser rhedeg y CPU i redeg y dull ar bwyntiau mewn sgwâr 6 wrth 6 wedi'i ganoli yn y tarddiad. Fe wnaethom rannu'r sgwâr â llinellau llorweddol a fertigol wedi'u dosbarthu'n unffurf a chymryd pob pwynt croestoriad fel pwyntiau cychwynnol ar gyfer y broses ailadroddol.

Ar gyfer TM, dull gyda chof, roedd yn rhaid i ni gymryd dau fan cychwyn ychwanegol x−1=x0 + d a x−2=x0 + 2d, lle mae d yn bylchiad y llinellau. Maen prawf arall a gesglir gan y cod yw nifer cyfartalog yr iteriadau fesul pwynt (AIPP), ond, gan fod y dulliau yn gofyn am nifer gwahanol o werthusiadau swyddogaethol fesul cam, fe wnaethom gymryd nifer gyfartalog y swyddogaethau fesul pwynt (AFPP). Y trydydd maen prawf yw nifer y pwyntiau dargyfeiriol (DP), sef nifer y pwyntiau nad oedd y dull yn cydgyfeirio ar eu cyfer mewn 40 iteriad gan ddefnyddio goddefiant o 10−7.

Yn seiliedig ar Ffigur 3, mae'n amlwg bod gan SM1 a SM2 fasnau tebyg, ac mae gan gTM fwy o labedau ar y ffin rhwng y ddau fasn. O Ffigur 4, rydym yn sylwi bod gTM yn well na SM1. Yn y 3 ffigur nesaf, gTM sydd orau, gyda basnau atyniad ehangach ac ardaloedd du culach heb unrhyw gydgyfeiriant i'r gwreiddiau. Mae'r perfformiad hwn yn cael ei ddal hyd yn oed ar gyfer swyddogaeth an-polynomaidd f5. At hynny, yn Ffigur 8, gellir sylwi bod basnau atyniad dull SM2 yn ehangach na'n dull gTM.

Cyfeiriwn yn awr at y data yn Nhablau 1–3. Rhoddir yr amser rhedeg CPU mewn eiliadau yn Nhabl 2. Mae SM2 yn gyson gyflymach na'r lleill. Os nad yw'r lluosogrwydd yn hysbys, yna mae gTM yn gyflymach na SM1, ac eithrio'r enghraifft gyntaf. Ar gyfartaledd, mae gTM yn gyflymach na SM1.

Nifer cyfartalog y gwerthusiadau swyddogaeth fesul pwynt (gweler Tabl 2) yw'r uchaf ar gyfer SM1 ar gyfer pob enghraifft. Sylwch mai'r enghraifft olaf yw'r anoddaf i bob dull. Nifer y pwyntiau dargyfeiriol yw'r isaf ar gyfer gTM ar gyfer enghreifftiau 1, 3, a 4. SM1 sydd â'r pwyntiau mwyaf dargyfeiriol ar gyfer y 6 enghraifft gyntaf, ond, yn yr enghraifft olaf, perfformiodd gTM yn wael a daeth yn drydydd yn gyffredinol. Y dull SM2 oedd orau, ar gyfartaledd, ar gyfer y 3 chategori ac yna gTM ar gyfer 2 gategori.

5. Casgliadau

Mae cynllun ailadroddus newydd gyda chof gyda'r gallu i ddod o hyd i wreiddiau syml a lluosog (heb yr angen i wybod eu lluosogrwydd) wedi'i lunio. Dyma, hyd y gwyddom, y dull cyntaf gyda'r priodweddau hyn yn y llenyddiaeth. Mae ei drefn cydgyfeirio wedi'i brofi i fod oddeutu 1.84 gyda dau werthusiad swyddogaethol newydd fesul iteriad; mae hyn yn esgor ar y cynllun i wella effeithlonrwydd cynllun Schröder heb gof SM1, sydd â phriodweddau tebyg. Gan ddefnyddio deinameg arwahanol go iawn aml-ddimensiwn a polynomialau gradd isel gyda gwreiddiau syml a lluosog, mae sefydlogrwydd y cynllun arfaethedig wedi'i ddadansoddi, gan ddangos ardaloedd eang o gydgyfeirio i'r ddau fath o wreiddiau.

Yn yr adran olaf, mae dulliau Schröder a gTM sy'n rhedeg ar sawl enghraifft wedi caniatáu inni ddod i'r casgliad, os yw'r lluosogrwydd yn hysbys ymlaen llaw, yna ni all SM1 a gTM gystadlu, er bod gTM yn well na SM1. Fodd bynnag, pan nad yw'r lluosogrwydd yn hysbys, mae'r dull gTM arfaethedig yn dangos perfformiad da iawn a gwell effeithlonrwydd na dulliau SM1, o ran amser gweithredu, cost gyfrifiadol, ac ehangder y basnau atyniad.

Cyfraniadau Awdur:

Cysyniadoli, AC a JRT; methodoleg, BN; meddalwedd, AC a BN; dilysu, BN; dadansoddiad ffurfiol, JRT; ymchwiliad, AC; ysgrifennu — paratoi drafft gwreiddiol, AC a BN; ysgrifennu — adolygu a golygu, JRT; goruchwyliaeth, BN a JRT Mae pob awdur wedi darllen a chytuno i fersiwn gyhoeddedig y llawysgrif.

Ariannu:

Cefnogwyd yr ymchwil hwn yn rhannol gan PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Datganiad Cydsyniad Gwybodus:

Amherthnasol.

Diolchiadau:

Hoffai’r awduron ddiolch i’r adolygwyr dienw am eu hawgrymiadau a’u sylwadau sydd wedi gwella fersiwn terfynol y llawysgrif hon.

Gwrthdaro Buddiannau:

Nid yw'r awduron yn datgan unrhyw wrthdaro buddiannau.

Cyfeiriadau

1. Petkovi’c, M.; Neta, B. ; Petkovi’c, L.; Džuni’c, J. Dulliau Amlbwynt ar gyfer Datrys Hafaliadau Afrelinol; Gwasg Academaidd: Rhydychen, DU, 2013.

2. Amat, S. ; Busquier, S. Cynnydd mewn Dulliau Iteraidd at Gyhydeddau Anghyd- linellol ; Cyfres Springer SEMA SIMAI 10; Springer: Cham, y Swistir, 2016.

3. Behl, R. ; Cordero, A. ; Torregrosa, JR Cynllun newydd lefel uwch heb ddeilliadau optimaidd ar gyfer gwreiddiau lluosog. J. Cyfrifiadur. Appl. Math. 2021, 113773, yn y wasg. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C. ; Aggarwal, P.; Chu, YM Algorithm rhifiadol heb ddeilliad pedwerydd gorchymyn gorau posibl ar gyfer gwreiddiau lluosog. Cymesuredd 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F. ; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Teulu o swyddogaeth ailadroddol wythfed gorchymyn optimaidd ar gyfer gwreiddiau lluosog a'i ddeinameg. J. Math. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Teulu o ddulliau iterus pumed trefn ar gyfer darganfod gwreiddiau lluosog hafaliadau aflinol. Rhif. Rhefrol. Appl. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Dosbarth effeithlon o ddull di- ddeilliad pedwerydd gorchymyn ar gyfer gwreiddiau lluosog. Int. J. Aflinol Gwydd. Rhif. Simwl. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F. ; Cordero, A. ; Torregrosa, JR Teulu o ddull pedwerydd trefn gorau posibl ar gyfer gwreiddiau lluosog hafaliadau aflinol. Math. Dulliau Appl. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Math. Ann. 1870, 2 , 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Trefn optimaidd o iteriad un pwynt ac amlbwynt. J. Assoc. Cyfrifiadur. Mach. 1974, 21, 643–651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, Toiled Ateb iterus o Hafaliadau Aflinol mewn Sawl Newidyn; Gwasg Academaidd: Caergrawnt, MA, UDA, 1970.

12. Traub, JF Dulliau Iteraidd i Ddatrys Cyhydeddiadau; Neuadd Prentice: Hoboken, NJ, UDA, 1964.

13. Ostrowski, AC Datrysiadau o Hafaliadau a Systemau o Hafaliadau; Gwasg Academaidd: Efrog Newydd, NY, UDA; Llundain, DU, 1966.

14. Campos, B. ; Cordero, A. ; Torregrosa, JR; Vindel, P. Agwedd ddeinamig aml-ddimensiwn tuag at ddulliau ailadroddol gyda chof. Appl. Math. Cyfrifiadur. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Cyflwyniad i Systemau Deinamig Anhrefnus; Datblygiadau mewn Mathemateg a Pheirianneg; Gwasg CRC: Boca Raton, FL, UDA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com